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吉林丨关于中考数学经典题型分析——几何动点问题

时间:2021-01-01 19:12作者:admin打印字号:

前言

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吉林全省除了长春的自主命题其他地方的考察都是这套试卷,几何动点借助相似工具是其特色,在长春的中考数学中也可以看到其出题的影子,有时间大家可以学习这部分的内容,尤其对中考有几何动点考察的地区。

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1.(2020·吉林)如图,△ABC是等边三角形,AB=4cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交折线AC﹣CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点P的运动时间为x(s)(0<x<2),△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).

(1)AP的长为 2x cm(用含x的代数式表示).

(2)当点D落在边BC上时,求x的值.

(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

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【分析】

(1)根据动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,可得AP的长为2xcm;

(2)当点D落在BC上时,如图1,BP=AB﹣AP=4﹣2x,根据△PQD等边三角形,△ABC是等边三角形,证明△APQ≌△BDP,进而可得x的值;

(3)根据题意分三个部分进行画图说明:①如图2,当0<x≤2/3时,②如图3,当点Q运动到与点C重合时,当2/3<x≤1时,如图4,设PD、QD与BC分别相交于点G、H,③如图5,当1<x<2时,点Q运动到BC边上,设PD与BC相交于点G,分别表示出y关于x的函数解析式即可.

【解答】

解:(1)∵动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,

∴AP的长为2xcm;

故答案为:2x;

(2)当点D落在BC上时,如图1,

BP=AB﹣AP=4﹣2x,

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∵PQ⊥AB,

∴∠QPA=90°,

∵△PQD等边三角形,△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=PD,

∴∠BPD=30°,

∴∠PDB=90°,

∴PD⊥BC,

∴△APQ≌△BDP(AAS),

∴BD=AP=2x,

∵BP=2BD,

∴4﹣2x=4x,

解得x=2/3;

(3)①如图2,当0<x≤2/3时,

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∵在Rt△APQ中,AP=2x,∠A=60°,

∴PQ=AP·tan60°=2√3x,

∵△PQD等边三角形,

∴S△PQD=2√3x·3x=3√3x2cm²,

所以y=3√3x2;

②如图3,当点Q与点C重合时,

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此时CP⊥AB,

所以AP=1/2AB,即2x═2,

解得x=1,

所以当2/3<x≤1时,如图4,设PD、QD与BC分别相交于点G、H,

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∵AP=2x,

∴BP=4﹣2x,AQ=2AP=4x,

∴BG=BP=2﹣x

∴PG=√3BG=√3(2﹣x),

∴S△PBG=1/2×BG·PG=√3/2(2﹣x)²,

∵AQ=2AP=4x,

∴CQ=AC﹣AQ=4﹣4x,

∴QH=√3CQ=√3(4﹣4x),

∴S△QCH=1/2×CQ·QH=√3/2(4﹣4x)²,

∵S△ABC=1/2×1/2×4×2√3=4√3,

∴S四边形PGHQ=S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ

=4√3﹣√3/2(2﹣x)²﹣√3/2(4﹣4x)²﹣1/2×1/2×2x×2√3x

=﹣21√3/2x2+18√3x﹣6√3,

所以y=﹣21√3/2x2+18√3x﹣6√3;

③如图5,当1<x<2时,点Q运动在BC边上,

设PD与BC相交于点G,

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此时PG=BP·sin60°=(4﹣2x)×√3/2=√3(2﹣x),

∵PB=4﹣2x,

∴BQ=2BP=2(4﹣2x)=4(2﹣x),

∴BG=1/2BP=2﹣x,

∴QG=BQ﹣BG=3(2﹣x),

∴重叠部分的面积为:

S△PQG=1/2×1.2×PG·QG=1/2×√3(2﹣x)·3(2﹣x)=3√3/2(2﹣x)².

所以y=3√3/2(2﹣x)².

综上所述:y关于x的函数解析式为:

当0<x≤2/3时,y=3√3x²;

当2/3<x≤1时,y=﹣21√3/2x2+18√3x﹣6√3;

当1<x<2时,y=3√3/2(2﹣x)².

【点评】本题考查了三角形综合题,解决本题的关键是图形面积的计算.

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2.(2019·吉林)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm²).

(1)AE= 3√2 cm,∠EAD= 45 °;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当PQ=5/4cm时,直接写出x的值.

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【分析】

(1)由勾股定理可求AE的长,由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数;

(2)分三种情况讨论,由面积和差关系可求解;

(3)分三种情况讨论,由勾股定理可求解.

【解答】

解:(1)∵AB=3cm,BE=AB=3cm,

∴AE=√AB²+√BE²=3√2cm,∠BAE=∠BEA=45°

∵∠BAD=90°

∴∠DAE=45°

故答案为:3√2,45

(2)当0<x≤2时,如图,过点P作PF⊥AD,

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∵AP=√2x,∠DAE=45°,PF⊥AD

∴PF=x=AF,

∴y=S△PQA=1/2×AQ×PF=x²,

(2)当2<x≤3时,如图,过点P作PF⊥AD,

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∵PF=AF=x,QD=2x﹣4

∴DF=4﹣x,

∴y=1/2x²+1/2(2x﹣4+x)(4﹣x)=﹣x²+8x﹣8

当3<x≤7/2时,如图,点P与点E重合.

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∵CQ=(3+4)﹣2x=7﹣2x,CE=4﹣3=1cm

∴y=1/2(1+4)×3﹣1/2(7﹣2x)×1=x+4

(3)当0<x≤2时

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∵QF=AF=x,PF⊥AD

∴PQ=AP

∵PQ=cm

∴√2x=

∴x=5√2/8

当2<x≤3时,过点P作PM⊥CD

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∴四边形MPFD是矩形

∴PM=DF=4﹣x,MD=PF=x,

∴MQ=x﹣(2x﹣4)=4﹣x

∵MP²+MQ²=PQ²,

∴(4﹣x)²+(4﹣x)²= 25/16

∴x=4±5√2/8>3(不合题意舍去)

当3<x≤7/2时,

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∵PQ²=CP²+CQ²,

∴25/16=1+(7﹣2x)²,

∴x=25/8

综上所述:x=25/8或5√2/8

【点评】本题是四边形综合题,考查了矩形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

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3.(2018·吉林)如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2√3cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动,过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s),▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm²)

(1)当PQ⊥AB时,x= 2/3s ;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;

(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时,直接写出x的值.

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【分析】

(1)当PQ⊥AB时,BQ=2PB,由此构建方程即可解决问题;

(2)分三种情形分别求解即可解决问题;

(3)分两种情形分别求解即可解决问题;

【解答】解:(1)当PQ⊥AB时,BQ=2PB,

∴2x=2(2﹣2x),

∴x=2/3s.

故答案为2/3s.

(2)①如图1中,当0<x≤2/3时,重叠部分是四边形PQMN.

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y=2x×√3x=2√3x².

②如图2中,当2/3<x≤1时,重叠部分是四边形PQEN.

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y=1/2(2﹣x+2x)×√3x=√3/2x²+√3x

③如图3中,当1<x<2时,重叠部分是四边形PNEQ.

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y=1/2×(2﹣x+2)×[√3x﹣2√3(x﹣1)]=√3/2x²﹣3√3x+4√3;

综上所述,y=.

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(3)①如图4中,当直线AM经过BC中点E时,满足条件.

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则有:tan∠EAB=tan∠QPB,

∴√3/2=√3x/(2-2x-x)

解得x=2/5.

②如图5中,当直线AM经过CD的中点E时,满足条件.

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此时tan∠DEA=tan∠QPB,

∴2√3/1=√3x/(2-2x-x),

解得x=4/7

综上所述,当x=2/5或4/7时,直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.

【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会用方程的思想解决问题,属于中考压轴题.

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4.(2017·吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,AB=4cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y(cm²),点P的运动时间为x(s).

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(1)当点Q在边AC上时,正方形DEFQ的边长为 x cm(用含x的代数式表示);

(2)当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值;

(3)当0<x<2时,求y关于x的函数解析式;

(4)直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围.

【分析】

(1)根据已知条件得到∠AQP=45°,求得PQ=AP=2x,由于D为PQ中点,于是得到DQ=x;

(2)如图①,延长FE交AB于G,由题意得AP=2x,由于D为PQ中点,得到DQ=x,求得GP=2x,列方程于是得到结论;

(3)如图②,当0<x≤4/5时,根据正方形的面积公式得到y=x²;如图③,当4/5<x≤1时,过C作CH⊥AB于H,交FQ于K,则CH=1/2AB=2,根据正方形和三角形面积公式得到y=﹣23/2x²+20x﹣8;如图④,当1<x<2时,PQ=4﹣2x,根据三角形的面积公式得到结论;

(4)当Q与C重合时,E为BC的中点,得到x=1,当Q为BC的中点时,BQ=√2,得到x=3/2,于是得到结论.

【解答】

解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=45°,PQ⊥AB,

∴∠AQP=45°,

∴PQ=AP=2x,

∵D为PQ中点,

∴DQ=x,

故答案为:x;

(2)如图①,延长FE交AB于G,由题意得AP=2x,

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∵D为PQ中点,

∴DQ=x,

∴GP=x,

∴2x+x+2x=4,

∴x=4/5;

(3)如图②,当0<x≤4/5时,y=S正方形DEFQ=DQ²=x²

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∴y=x²;

如图③,当4/5<x≤1时,过C作CH⊥AB于H,交FQ于K,则CH=1/2AB=2,

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∵PQ=AP=2x,CK=2﹣2x,

∴MQ=2CK=4﹣4x,FM=x﹣(4﹣4x)=5x﹣4,

∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ²﹣1/2FM²,

∴y=x²﹣1/2(5x﹣4)²=﹣23/2x²+20x﹣8,

∴y=﹣23/2x²+20x﹣8;

如图④,当1<x<2时,PQ=4﹣2x,

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∴DQ=2﹣x,

∴y=S△DEQ=1/2DQ²,

∴y=1/2(2﹣x)²,

∴y=1/2x²﹣2x+2;

(4)当Q与C重合时,E为BC的中点,

即2x=2,

∴x=1,

当Q为BC的中点时,BQ=√2,

PB=1,

∴AP=3,

∴2x=3,

∴x=3/2,

∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为:1<x<3/2.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,正方形的性质,图形面积的计算,正确的作出图形是解题的关键.

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